Całkowanie przez podstawianie całek oznaczonych

Podamy twierdzenie, które podobnie jak , stanowi bardzo użyteczne narzędzie do obliczania całek oznaczonych.

Twierdzenie 1: o całkowaniu przez podstawianie całek oznaczonych

Jeżeli $ f:[a,b] \to \mathbb{R} $ jest funkcją ciągłą, natomiast $ \varphi:[\alpha,\beta] \to [a,b] $ jest funkcją klasy $ C^1 $ taką, że $ \varphi(\alpha)=a $ oraz $ \varphi(\beta)=b $, to zachodzi równość

$ \int\limits_a^b f(x) dx = \int\limits_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t) dt. $

DOWÓD
Skoro funkcja $ f $ jest ciągła, to posiada funkcję pierwotną $ g $, a zatem $ f=g^{\prime} $. W konsekwencji

$ f(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t)=g^{\prime}(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t)=(g \circ \varphi)^{\prime}(t), $

tak więc

$ \begin{aligned} \int\limits_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t) dt = \int\limits_{\alpha}^{\beta}(g \circ \varphi)^{\prime}(t) dt = g(\varphi(\beta))-g(\varphi(\alpha)) = g(b)- g(a)=\int_a^b f(x) dx.\end{aligned} $

Zauważmy, że w powyższych obliczeniach dwukrotnie użyliśmy twierdzenie Newtona-Leibniza, za pierwszym razem stosując je do funkcji podcałkowej $ (g \circ \varphi)^{\prime} $ oraz jej funkcji pierwotnej $ g \circ \varphi $, a dalej do funkcji podcałkowej $ f $ oraz jej funkcji pierwotnej $ g $. Ponadto przedostatnia równość została uzyskana dzięki założeniu, że $ \varphi(\alpha)=a $ i $ \varphi(\beta)=b $.
CND.

Zastosujmy twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie do obliczenia przykładowych całek oznaczonych.

Przykład 1:

$ \int\limits_0^1 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx =\left| \begin{array}{c}t=x^2+1 \\ dt=2x dx \\ \frac{1}{2}dt=x dx \end{array} \right|=\frac{1}{2} \int\limits_1^2 \frac{dt}{\sqrt{t}}=\sqrt{t}\Big|_1^2=\sqrt{2}-1. $

Zauważmy, że dokonaliśmy tu następującej zmiany wartości granic całkowania:

Tabela 1: Zmiana wartości granic całkowania, gdy $ (t=x^2+1) $

$ x $	$ 0 $	$ 1 $
$ t=x^2+1 $	$ 1 $	$ 2 $

Przykład 2:

$ \int\limits_{e^2}^{e^e} \frac{dx}{x \cdot \ln x \cdot \ln (\ln x)} =\left| \begin{array}{c} t= \ln x \\ dt=\frac{1}{x} dx \end{array} \right|=\int\limits_2^e \frac{dt}{t \ln t} = \left| \begin{array}{c} s=\ln t \\ ds=\frac{1}{t} dt \end{array} \right|=\int\limits_{\ln 2}^1 \frac{ds}{s} = \ln s \Big|_{\ln 2}^{1} = \Big(\ln 1 - \ln \ln 2\Big)=-\ln \ln 2. $

Zauważmy, że dokonaliśmy następujących zmian wartości granic całkowania:

Tabela 2: Zmiana wartości granic całkowania, gdy $ t=\ln x $

$ x $	$ e^2 $	$ e^e $
$ t=\ln x $	$ 2 $	$ e $

oraz

Tabela 3: Zmiana wartości granic całkowania, gdy $ s=\ln t $

$ t $	$ 2 $	$ e $
$ s=\ln t $	$ \ln 2 $	$ 1 $

Na podstawie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie możemy sformułować natępujące wnioski.

Wniosek 1: o całce z funkcji parzystej w przedziale symetrycznym względem zera

Jeżeli $ a $ jest liczbą dodatnią, natomiast $ f: [-a,a] \to \mathbb{R} $ jest parzystą funkcją ciągłą, to

$ \int\limits_{-a}^a f(x) dx = 2 \int\limits_0^a f(x) dx. $

DOWÓD

$ \int\limits_{-a}^a f(x) dx = \int\limits_{-a}^0 f(x) dx + \int\limits_0^a f(x) dx. $

Dokonując w pierwszej z całek występujących w powyższej sumie podstawienia $ t=-x $ i stosownej zmiany granic całkowania

Tabela 4: Zmiana wartości granic całkowania, gdy $ t=-x $

$ x $	$ -a $	$ 0 $
$ t=-x $	$ a $	$ 0 $

otrzymujemy

$ -\int\limits_a^0 f(-t) dt + \int\limits_0^a f(x) dx = \int\limits_0^a f(-t) dt + \int\limits_0^a f(x) dx=2\int\limits_0^a f(x) dx. $

Ostatnia równość wynika z faktu, że $ f $ jest funkcją parzystą oraz zamiany symbolu zmiennej całkowania z $ t $ na $ x $.
CND.

$I=\int\limits_0^a f(x) dx$

Rysunek 1: $I=\int\limits_0^a f(x) dx$

Rozumując analogicznie jak powyżej, możemy otrzymać kolejny rezultat.

Wniosek 2: o całce z funkcji nieparzystej w przedziale symetrycznym względem zera

Jeżeli $ a $ jest liczbą dodatnią, natomiast $ f: [-a,a] \to \mathbb{R} $ jest nieparzystą funkcją ciągłą, to

$ \int\limits_{-a}^a f(x) dx = 0. $

$I=\int\limits_0^a f(x) dx$

Rysunek 2: $I=\int\limits_0^a f(x) dx$

Powyższe wnioski mają dość duże znaczenie w praktycznych obliczeniach, gdyż niejednokrotnie prościej jest znaleźć wartość funkcji pierwotnej w zerze niż w $ -a $. W szczególności powyższy wniosek pozwala natychmiast podać wartość liczbową niektórych całek bez konieczności przeprowadzania złożonych rachunków.

Przykład 3:

Możemy stwierdzić, że

$ \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 x dx=0, $

ponieważ całkujemy po przedziale, który jest symetryczny względem zera, a funkcja sinus jest w nim nieparzysta.

\( x \)	\( 0 \)	\( 1 \)
\( t=x^2+1 \)	\( 1 \)	\( 2 \)

\( x \)	\( e^2 \)	\( e^e \)
\( t=\ln x \)	\( 2 \)	\( e \)

\( t \)	\( 2 \)	\( e \)
\( s=\ln t \)	\( \ln 2 \)	\( 1 \)

\( x \)	\( -a \)	\( 0 \)
\( t=-x \)	\( a \)	\( 0 \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka